“孪生素数”知多少?

匿名2021-09-02 16:40:39
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    “孪生素数”(英文twin primes)是指,相差2的素数对;例如:3和5、5和7、11和13、17和19等。孪生素数是当今数学研究的重要课题,而孪生素数猜想是数论领域中最著名的猜想之一。


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    1849年,法国数学家阿尔方·波利尼亚克提出了一般的猜想:对所有自然数k,存在无穷多个素数对(p, p + 2k)。k等于1时就是孪生素数猜想,而k等于其他自然数时就称为弱孪生素数猜想(即孪生素数猜想的弱化版)。因此,有人把波利尼亚克作为孪生素数猜想的提出者。


    1900年,德国数学家大卫·希尔伯特在巴黎召开的第二届 “国际数学家大会”上提出了23个数学难题,其中第8个难题里就有孪生素数猜想。从那时开始,孪生素数猜想的内在吸引力冠予了它数学圣杯的称号。虽然有很多数学家们致力于证明这一猜想,他们还是不能排除素数的间隔会一直增长最终超过一个特定上限的可能。


    1921年,英国数学家戈弗雷·哈代和约翰·李特尔伍德提出一个与波利尼亚克猜想类似的猜想,通常称为“哈代-李特尔伍德猜想”或“强孪生素数猜想”(即孪生素数猜想的强化版)。这一猜想不仅提出孪生素数有无穷多对,而且还给出其渐近分布形式。中国数学家周海中曾经指出:要证明强孪生素数猜想,人们仍要面对许多巨大的困难。


    2013年5月,美籍华人数学家张益唐在孪生素数研究方面取得了突破性进展,证明了孪生素数猜想的一个弱化形式。在其研究中,他在不依赖未经证明推论的前提下,发现存在无穷多个之差小于7000万的素数对,从而在孪生素数猜想这个重要问题的道路上前进了一大步。在“Polymath”计划的助力下,目前k已经被缩小到123。


    前不久,美国数学家威尔·萨温和马克·舒斯特曼发布了一个证明,为孪生素数猜想的研究开辟了一条新的路径。新的证明是在一个被称为有限数系统的设定探讨孪生素数猜想。在有限数系统中,可用的数字可能只有少数几个;这种数字系统被称为“有限域”,尽管这是一个很小的域,但它们却保有无限整数所拥有的许多数学性质。现在,其他一些数学家也将在他们俩的基础上继续前行。


    当今最大的孪生素数为 2996863034895×2^1290000±1,该数有388342位,它是2016年才被发现的。目前所知孪生素数只有数学上理论意义(不妨看作是一种智力竞赛),并没有实际的应用价值;但是,如果将来有一天能给出它的一个有实际应用价值的例子,那将会对人类社会产生重大的推动作用!


    文/朱敏(作者单位:四川大学数学学院)


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