“分形几何”知多少?

匿名2021-08-14 09:35:41
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    “分形几何”(英文fractal geometry)是美籍法国著名数学家伯努瓦·曼德布罗特在20世纪70年代创立的一门数学新分支,它研究的是广泛存在于自然界和人类社会中一类没有特征尺度却有自相似结构的复杂形状和现象,它与欧氏几何不同。欧氏几何是由古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》一书中创立的,它是关于直觉空间形体关系分析的一门学科,它研究的是直线、圆、正方体等规则的几何形体,这些形体都是人为的。但是,大自然中的“云彩不是球体、山岭不是锥体、海岸线不是圆周”。


    自然界的众多形状都是如此的不规则和支离破碎。对这些形状的认识,欧几里得并未能给后人留下更多的启示,传统的欧氏几何在它们面前显得那样的苍白无力、对大自然的这种挑战,二千多年来,激励着一代又一代的数学家上下求索,探寻从欧氏几何体系中解放出来的道路。终于在1975年,曼德布罗特发表了被视为分形几何创立标志的专著《分形:形、机遇和维数》。从此,一门崭新的数学分支——分形几何学跻身于现代数学之林。


    曼德布罗特认为分形具有四大特征:结构的精细性——分形图形具有无限精细的结构;自相似性——部分与整体的比例的相似性;维数的非整数性——分形图形的分数维通常大于它的拓扑维数;生成的迭代性——可以由非常简单的方法定义,并由递归、迭代产生。其中前两项说明分形在结构上的内在规律性,自相似性是分形的灵魂——任何一个片段都包含了整个分形的信息;第三项说明了分形的复杂性;第四项说明了分形的生成机制。


    经过四十多年的开拓和发展,分形研究现已深入到各个科学技术领域,在数学、哲学、地学、医学、物理学、语言科学、材料科学、计算机科学等众多领域,甚至在电影、美术和书法等艺术领域都得到了广泛的应用,对现代科学产生了至为深远的影响,所以美国著名物理学家约翰·惠勒说:“可以相信,明天谁不熟悉分形,谁就不能被认为是科学上的文化人!”中国著名学者周海中也指出:“分形几何不仅展示了数学之美,也揭示了世界的本质,从而改变了人们理解自然奥秘的方式;可以说,分形几何是真正描述大自然的几何学,对它的研究也极大地拓展了人类的认知疆域。”


    分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的新几何学,但其本质却是一种新的世界观和方法论。相对于传统几何学的研究对象为整数维数,如零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体乃至四维的时空,分形几何学的研究对象为分数维数,如0.54、1.26、2.78等等;分数维数反映了复杂形体占有空间的有效性,它是复杂形体不规则性的量度。事实上,分形几何更加趋近复杂系统的真实属性和状态描述,更加符合客观事物的多样性和复杂性。


    分形几何学的基本思想是:客观事物具有自相似的层次结构,局部与整体在形分形几何图态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性,成为自相似性。例如,一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极,不断分割下去,每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构,适当的放大或缩小几何尺寸,整个结构不变。这有点像我们平时所说的“窥一斑而知全豹”。分形几何学作为当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科,它的出现,使人们重新审视这个世界:世界是非线性的,分形无处不在。分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合,数学与艺术审美的统一,而且还有其深刻的科学方法论意义。


    分形几何除对科学产生深刻影响外,还对文化领域产生了重要影响,如在上世纪70年代后期分形艺术十分流行,尤其曼德布罗特的集合图形成了一种文化符号,被大量印制在文化衫、棒球帽和帆布包上。另外,分形艺术中优美丰富的图形可以应用到各种布局设计中,如舞台设计、园林设计、建筑设计、器型设计等。分形艺术以一种全新的艺术风格展示给人们,使人们认识到该艺术和传统艺术一样具有和谐、对称等特征的美学标准。可以说,分形几何搭起了科学与艺术的桥梁,也展示了当代文化艺术的风貌。


    文/邓妍婧(作者单位:法国索邦大学理学院)


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